分析 根据辅助角公式求出A的大小,结合三角形的面积公式以及余弦定理进行求解即可.
解答 解:∵sinA+cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴$\sqrt{2}$cos(A-45°)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴cos(A-45°)=$\frac{1}{2}$.
又0°<A<180°,
∴A-45°=60°,A=105°.
∵△ABC的面积为$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$,
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bcsin105°=$\frac{1}{2}$bc($\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$)=$\frac{\sqrt{2}}{4}$×$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$bc=$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$,
则bc=$\sqrt{2}$,
∵b+c=$\sqrt{2}$+1,
∴(b+c)2=($\sqrt{2}$+1)2=3+$\sqrt{2}$.
a2=b2+c2-2bccos105°=(b+c)2-2bc-2bc×($\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$)=3+$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$=2+$\sqrt{3}$$-\sqrt{2}$,
则a=$\sqrt{2+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$,
故答案为:$\sqrt{2+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$
点评 本题主要考查解三角形的应用,利用辅助角公式结合三角形的面积公式以及余弦定理是解决本题的关键.
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A. | ($\frac{1}{4}$,$\frac{1}{3}$) | B. | [$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{3}$) | C. | (-∞,$\frac{1}{3}$) | D. | [$\frac{1}{4}$,+∞) |
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A. | 1006 | B. | 1007 | C. | 2012 | D. | 2013 |
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