Question

20．若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是（　　）

• A． $\frac{1}{ab}＞\frac{1}{2}$
• B． a²+b²≥8
• C． $\sqrt{ab}$≥2
• D． $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$≤1

Answer 1

分析 取特值可排除A、B、C，由二次函数的最值可证B正确．

解答 解：由题意取a=1且b=3显然满足题意，但$\frac{1}{ab}$=$\frac{1}{3}$＜$\frac{1}{2}$，故A错误；
还取a=1且b=3，但有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{4}{3}$＞1，$\sqrt{ab}$=$\sqrt{3}$＜2，故B、C错误；
对于B，∵a＞0，b＞0，且a+b=4，∴b=4-a，
∴a²+b²=a²+（4-a）²=2a²-8a+16=2（a-2）²+8，
由二次函数可知当a=b=2时，a²+b²取最小值8，
故有a²+b²≥8成立．
故选：B

点评 本题考查不等式的性质，涉及二次函数的最值，属基础题．