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    （2012•资阳一模）某校为全面推进新课程改革，在高一年级开设了研究性学习课程，某班学生在一次研究活动课程中，一个小组进行一种验证性实验，已知该种实验每次实验成功的概率为
    12
    ．
    （1）求该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率．
    （2）如果在若干次实验中累计有两次成功就停止实验，否则将继续下次实验，但实验的总次数不超过5次，求该小组所做实验的次数ξ的概率分布列和数学期望．
    分析：（Ⅰ）记“该小组做了5次实验至少有2次成功”为事件A，“只成功一次”为事件A1，“一次都不成功”为事件A2，则：P（A）=1-P（A1+A2）=1-P（A1）-P（A2）=1-
    C
    1
    5
    (
    1
    2
    )5-
    C
    0
    5
    (
    1
    2
    )5=
    13
    16
    ．由此能求出该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率．
    （Ⅱ）ξ的可能取值为2，3，4，5．分别求出P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），P（ξ=5）的值，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
    解答：解：（Ⅰ）记“该小组做了5次实验至少有2次成功”为事件A，
    “只成功一次”为事件A1，
    “一次都不成功”为事件A2，
    则：P（A）=1-P（A1+A2）=1-P（A1）-P（A2）
    =1-
    C
    1
    5
    (
    1
    2
    )5-
    C
    0
    5
    (
    1
    2
    )5=
    13
    16
    ．
    故该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率为
    13
    16
    ．（6分）
    （Ⅱ）ξ的可能取值为2，3，4，5．
    则P(ξ=2)=(
    1
    2
    )2=
    1
    4
    ；
    P(ξ=3)=
    C
    1
    2
    (
    1
    2
    )3=
    1
    4
    ，
    P(ξ=4)=
    C
    1
    3
    (
    1
    2
    )4=
    3
    16
    ，
    P(ξ=5)=
    C
    0
    5
    (
    1
    2
    )5+
    C
    1
    5
    (
    1
    2
    )5+
    C
    1
    4
    (
    1
    2
    )5=
    5
    16
    ．（每对一个得1 分）（10分）
    ∴ξ的分布列为：
    ξ 2 3 4 5
    P
    1
    4
    1
    4
    3
    16
    5
    16
    （11分）
    ∴Eξ=2×
    1
    4
    +3×
    1
    4
    +4×
    3
    16
    +5×
    5
    16
    =
    57
    16
    ．（12分）
    点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用．
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