Question

已知y=f（x）是偶函数，当x＞0时，f(x)=x+

4

x

，且当x∈[-3，-1]时，f（x）≤m恒成立，则m的取值范围是

[5，+∞）

．

Answer 1

分析：根据题意转化为求f（x）在[-3，-1]上的最大值，再由偶函数的性质转化为求在[1，3]上的最大值，判断出f（x）的单调性，求出最大值即可．

解答：解：∵当x∈[-3，-1]时，f（x）≤m恒成立，
即求f（x）在[-3，-1]上的最大值，
∵y=f（x）是偶函数，且当x＞0时，f(x)=x+

4

x

，
∴f（x）在[-3，-1]上的最大值是在[1，3]上的最大值，
∵f(x)=x+

4

x

在[1，2]上递减，在[2，3]上递增，
∴最大值是f（1）或f（3），又因为f（1）=5＞f（3）=3+

4

3

，
∴f（x）在[-3，-1]上的最大值是5，即m≥5，
故答案为：[5，+∞）．

点评：本题考查了偶函数的性质、对号函数的单调性，以及转化思想和简单的恒成立问题．