Question

深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球)．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．
(1)设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
(2)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．

Answer 1

（1）ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P

 
ξ的数学期望为E(ξ)＝1
（2）

(1)ξ的所有可能取值为0,1,2．
设“第一次训练时取到i个新球(即ξ＝i)”为事件A_i(i＝0,1,2)．
∵集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，
∴P(A₀)＝P(ξ＝0)＝＝，
P(A₁)＝P(ξ＝1)＝＝，
P(A₂)＝P(ξ＝2)＝＝．
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P

ξ的数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1．
(2)设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B．
则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A₀B＋A₁B＋A₂B．而事件A₀B，A₁B，A₂B互斥，
∴P(A₀B＋A₁B＋A₂B)＝P(A₀B)＋P(A₁B)＋P(A₂B)．
由条件概率公式，得
P(A₀B)＝P(A₀)P(B|A₀)＝×＝×＝，
P(A₁B)＝P(A₁)P(B|A₁)＝×＝×＝，
P(A₂B)＝P(A₂)P(B|A₂)＝×＝×＝，
∴第二次训练时恰好取到一个新球的概率为
P(A₀B＋A₁B＋A₂B)＝＋＋＝．