Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=6，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC； 
（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：ME∥平面PAB；
（Ⅲ）当$\frac{PM}{MD}=\frac{1}{2}$时，求四棱锥M-ECDF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AB⊥AC．得到EF⊥AC．证明PA⊥底面ABCD，可得PA⊥EF．然后证明EF⊥平面PAC．
（Ⅱ）证明MF∥PA，即可证明MF∥平面PAB，同理EF∥平面PAB．然后证明平面MEF∥平面PAB，得到ME∥平面PAB．
（Ⅲ）证明MN⊥底面ABCD，然后求解四棱锥M-ECDF的体积．

解答 （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=AC，∠BCD=135°，
∴∠ABC=45°，
所以AB⊥AC．
由E，F分别为BC，AD的中点，得EF∥AB，
所以EF⊥AC．…（1分）
因为侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，
所以PA⊥底面ABCD．…（2分）
又因为EF?底面ABCD，
所以PA⊥EF．…（3分）
又因为PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
所以EF⊥平面PAC．…（5分）
（Ⅱ）证明：因为M为PD的中点，F分别为AD的中点，
所以MF∥PA，
又因为MF?平面PAB，PA?平面PAB，
所以MF∥平面PAB．…（7分）
同理，得EF∥平面PAB．
又因为MF∩EF=F，MF?平面MEF，EF?平面MEF，
所以平面MEF∥平面PAB．…（9分）
又因为ME?平面MEF，
所以ME∥平面PAB．…（10分）
（Ⅲ）解：在△PAD中，过M作MN∥PA交AD于点N（图略），
由$\frac{PM}{MD}=\frac{1}{2}$，得$\frac{MN}{PA}=\frac{2}{3}$，
又因为PA=6，
所以MN=4，…（12分）

因为PA⊥底面ABCD，
所以MN⊥底面ABCD，
所以四棱锥M-ECDF的体积${V_{M-ECDF}}=\frac{1}{3}×{S_{平行四边形ECDF}}×MN=\frac{1}{3}×\frac{6×6}{2}×4=24$．…（14分）

点评 本题考查直线与平面垂直与平行的判定定理以及性质定理的应用，平面与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．