Question

（2014•普陀区一模）设函数f（x）与g（x）都不是常值函数，定义域都是R．则条件“f（x）与g（x）同是奇函数或同是偶函数”是“f（x）与g（x）的积是偶函数”的（　　）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．既非充分又非必要条件

Answer 1

分析：用定义证明f（x），g（x）同是奇函数或同是偶函数则f（x）乘以g（x）一定是偶函数，但f（x）乘以g（x）是偶函数，f（x），g（x）不一定同是奇函数或同是偶函数，取f（x）=x-1，x∈R和g（x）=x+1，x∈R，它们都是非奇非偶函数，但是f（x）•g（x）=x²-1是偶函数．

解答：解：f（x）与g（x）同是奇函数或同是偶函数，以都是奇函数为例，
则f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x）
∴f（-x）g（-x）=f（x）g（x）
∴f（x）与g（x）的积是偶函数，
∴f（x），g（x）同是奇函数或同是偶函数则f（x）乘以g（x）一定是偶函数，
但f（x）乘以g（x）是偶函数，f（x），g（x）不一定同是奇函数或同是偶函数．
取f（x）=x-1，x∈R和g（x）=x+1，x∈R，它们都是非奇非偶函数，但是f（x）•g（x）=x²-1是偶函数．
f（x），g（x）同是奇函数或同是偶函数”是“f（x）乘以g（x）是偶函数”的充分不必要条件．
故选A

点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件，及函数的奇偶性的判断，本题解题的关键是能够应用特列说明当两个函数的积是偶函数时，两个函数的奇偶性不能确定．