Question

已知0＜x＜

π

2

，且t是大于0的常数，f(x)=

1

sinx

+

t

1-sinx

的最小值为9，则t=

 

．

Answer 1

分析：可令a=sinx，b=1-sinx，由0＜x＜

π

2

知，a，b∈（0，1），此时有M=

1

a

+

t

b

的最小值为9，且a+b=1，令M=（

1

a

+

t

b

）（a+b），展开后利用基本不等式得到关于t的方程，解出t值

解答：解：由题，可令a=sinx，b=1-sinx，由0＜x＜

π

2

知，a，b∈（0，1）
此时有M=

1

a

+

t

b

的最小值为9，且a+b=1
所以M=（

1

a

+

t

b

）（a+b）=1+t+

b

a

+

at

b

≥1+t+2

t

=9等号当且仅当

b

a

=

at

b

①时成立，
解1+t+2

t

=9可得t=4，将t=4代入①可解得sinx=

1

3

，故所求t值符合题意
故答案为4

点评：本题知道了最小值，利用不等式等号成立得到两个方程，解出t与sinx的值，本题考查知识的灵活运用的能力．