Question

7．己知圆C：（x-2）²+（y-4）²=1．P（x，y）为圆C上一点，则x²+y²的取值范围是[21-4$\sqrt{5}$，21+4$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 找出圆心与半径，所求式子表示圆上点到原点距离的平方，从而求x²+y²的取值范围；

解答 解：圆C：（x-2）²+（y-4）²=1．圆心为（2，4），半径为1．圆心到原点的距离为：$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{20}$
=$2\sqrt{5}$，
x²+y²的最大值为：$（2\sqrt{5}+1）^{2}$=21+4$\sqrt{5}$．
x²+y²的最小值为：${（2\sqrt{5}-1）}^{2}$=21-4$\sqrt{5}$．
∴x²+y²的取值范围是[21-4$\sqrt{5}$，21+4$\sqrt{5}$]；
故答案为：[21-4$\sqrt{5}$，21+4$\sqrt{5}$]；

点评 本小题主要考查直线和圆的综合应用，考查数形结合、化归转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力，属于中档题．