Question

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，AD=CD，把△DAC沿对角线AC折起后如图2所示（点D记为点P），点P在平面ABC上的正投影E落在线段AB上，连接PB．
（1）求直线PC与平面PAB所成的角的大小；
（2）求二面角P-AC-B的大小的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根据折起前后有些线段的长度和角度，根据线面所成角的定义可知∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角，在Rt△CBP中，求出此角即可；
（2）取AC的中点F，连接PF，EF，根据二面角平面角的定义可知∠PFE为二面角P-AC-B的平面角，在Rt△EFA中，求出EF，在Rt△PFA中，求出PF，最后在Rt△PEF中，求出∠PFE的余弦值即可．

解答：（1）解：在图4中，
∵∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，
∴AB=

BC

tan30°

=

1

3 3

=

3

，AC=

BC

sin30°

=

1

1 2

=2，∠DAC=60°．
∵AD=CD，
∴△DAC为等边三角形．
∴AD=CD=AC=2．（2分）
在图5中，
∵点E为点P在平面ABC上的正投影，
∴PE⊥平面ABC．
∵BC?平面ABC，
∴PE⊥BC．
∵∠CBA=90°，
∴BC⊥AB．
∵PE∩AB=E，PE?平面PAB，AB?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB．
∴∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角．（4分）
在Rt△CBP中，BC=1，PC=DC=2，
∴sin∠CPB=

BC

PC

=

1

2

．
∵0°＜∠CPB＜90°，
∴∠CPB=30°．
∴直线PC与平面PAB所成的角为30°．（6分）
（2）解：取AC的中点F，连接PF，EF．
∵PA=PC，
∴PF⊥AC．
∵PE⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴PE⊥AC．
∵PF∩PE=P，PF?平面PEF，PE?平面PEF，
∴AC⊥平面PEF．
∵EF?平面PEF，
∴EF⊥AC．
∴∠PFE为二面角P-AC-B的平面角．（8分）
在Rt△EFA中，AF=

1

2

AC=1，∠FAE=30°，
∴EF=AF•tan30°=

3

3

，AE=

EF2+AF2

=

2 3

3

．
在Rt△PFA中，PF=

PA2-AF2

=

22-12

=

3

．
在Rt△PEF中，cos∠PFE=

EF

PF

=

3 3

3

=

1

3

．
∴二面角P-AC-B的大小的余弦值为

1

3

．（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面所成的角，以及二面角的度量，考查空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力，属于中档题．