Question

设x、y满足约束条件

x-2y+2≥0 2x-y-2≤0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则

1

a

+

1

b

的最小值是

4

．

Answer 1

分析：作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求则

1

a

+

1

b

的最小值．

解答：解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+

z

b

，
∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率-

a

b

＜0，
作出不等式对应的平面区域如图：
平移直线得y=-

a

b

x+

z

b

，由图象可知当直线y=-

a

b

x+

z

b

经过点A时，直线y=-

a

b

x+

z

b

的截距最大，此时z最大．
由

x-2y+2=0 2x-y-2=0

，解得

x=2 y=2

，即A（2，2），
此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，
即2a+2b=2，∴a+b=1，

1

a

+

1

b

=（

1

a

+

1

b

）×1=（

1

a

+

1

b

）×（a+b）=2+

b

a

+

a

b

≥2+2

b a • a b

=4，
当且仅当

a

b

=

b

a

，即a=b=

1

2

时取等号．
故答案为：4

点评：本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．