Question

已知函数f（x）=e^x-e ^-x，其中e为自然对数的底数．
（1）判断函数f（x）定义在R上的奇偶性，并证明；
（2）若关于x的不等式f（x）≥me^x在[-1，1]上恒成立，试判断log_a（-2t²+2t）的值的正负号，其中t∈（0，1）．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）证明f（-x）=e^-x-e^x=-f（x）即可；
（2）先求得-2t2+2t=-2(t-

1

2

)2+

1

2

≤

1

2

＜1，再求得a＞e²-1＞1，根据函数的性质和图象可知log_a（-2t²+2t）＜0．

解答： 解：（1）函数f（x）是定义在R上的奇函数，
证明：f（-x）=e^-x-e^x=-f（x），所以f（x）是奇函数．
（2）∵m≤1-

1

e2x

恒成立，∴m≤(1-

1

e2x

)min，
又因为函数y=1-

1

e2x

在[-1，1]是增函数
∴m≤1-e²
即有a＞（e^2x-1）_min，所以a＞e²-1
又因为-2t2+2t=-2(t-

1

2

)2+

1

2

≤

1

2

＜1，且a＞e²-1＞1
所以log_a（-2t²+2t）＜0．

点评：本题是指数函数综合题，考察了函数的性质及应用，属于中档题．