Question

（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点．
（Ⅰ）求异面直线CC₁和AB的距离；
（Ⅱ）若AB₁⊥A₁C，求二面角A₁-CD-B₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据条件得到CD⊥AB以及CC₁⊥CD，进而求出C的长即可；
（Ⅱ）解法一；先根据条件得到∠A₁DB₁为所求的二面角A₁-CD-B₁的平面角，再根据三角形相似求出棱柱的高，进而在三角形A₁DB₁中求出结论即可；
解法二：过D作DD₁∥AA₁交A₁B₁于D₁，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量的坐标，最后代入向量的夹角计算公式即可求出结论．

解答：解：（Ⅰ）解：因为AC=BC，D为AB的中点，故CD⊥AB，
又直三棱柱中，CC₁⊥面ABC，故CC₁⊥CD，
所以异面直线CC₁和AB的距离为：CD=

BC2-BD2

=

5

．
（Ⅱ）解法一；由CD⊥AB，CD⊥BB₁，故CD⊥平面A₁ABB₁，
从而CD⊥DA₁，CD⊥DB₁，故∠A₁DB₁为所求的二面角A₁-CD-B₁的平面角．
因A₁D是A₁C在面A₁ABB₁上的射影，
又已知AB₁⊥A₁C，由三垂线定理的逆定理得AB₁⊥A₁D，
从而∠A₁AB₁，∠A₁DA都与∠B₁AB互余，
因此∠A₁AB₁=∠∠A₁DA，
所以RT△A₁AD∽RT△B₁A₁A，
因此

AA 1

AD

=

A1B1

AA 1

，得AA 12=AD•A₁B₁=8，
从而A₁D=

AA 12+AD2

=2

3

，B₁D=A₁D=2

3

．
所以在三角形A₁DB₁中，cos∠A₁DB₁=

A1D2+DB 12-A1B12

2•A1D•DB 1

=

1

3

．
解法二：过D作DD₁∥AA₁交A₁B₁于D₁，在直三棱柱中，
由第一问知：DB，DC，DD₁两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD₁分别为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系D-XYZ．．
设直三棱柱的高为h，则A（-2，0，0），A₁（-2，0，h）．B₁（2，0，h）．C（0，

3

，0）
从而

AB1

=（4，0，h），

A1C

=（2，

3

，-h）．
由AB₁⊥A₁C得

AB 1

•

A1C

=0，即8-h²=0，因此h=2

2

，
故

DA 1

=（-1，0，2

2

），

DB 1

=（2，0，2

2

），

DC

=（0，

5

，0）．
设平面A₁CD的法向量为

m

=（x，y，z），则

m

⊥

DC

，

m

⊥

DA 1

，即

5 y=0 -2x+2 2 z=0

取z=1，得

m

=（

2

，0，1），
设平面B₁CD的法向量为

n

=（a，b，c），则

n

⊥

DC

，

n

⊥

DB 1

，即

5 b=0 2a+2 2 c=0

取c=-1得

n

=（

2

，0，-1），
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

2-1

2+1 • 2+1

=

1

3

．
所以二面角的平面角的余弦值为

1

3

．

点评：本题主要考察异面直线间的距离计算以及二面角的平面角及求法．在求异面直线间的距离时，关键是求出异面直线的公垂线．