Question

已知函数f（x）=x³-ax²+bx+3，若函数f（x）在区间[0，1]上是单调递减函数，则a²+b²的最小值为（　　）

• A、

  9

  5

• B、

  11

  5

• C、2
• D、1

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：根据函数单调性和导数之间的关系，将条件转化为不等式组，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=x³-ax²+bx+3（a，b∈R），
∴f′（x）=3x²-2ax+b，
若函数f（x）在[0，1]上单调递减，
则f′（x）=3x²-2ax+b≤0，在[0，1]上单调递减，
则

f′(0)≤0 f′(1)≤0

，即

b≤0 3-2a+b≤0

，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则a²+b²的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，
由图象可知O到直线3-2a+b=0的距离d=

3

22+1

=

3

5

，
则a²+b²的最小值为d²=

9

5

，
故选：A．

点评：本题主要考查不等式的求解，以及函数单调性和导数之间的关系，利用数形结合是解决本题的关键．