设抛物线C:的焦点为F,经过点F的直线与抛物线交于A、B两点.
(1)若,求线段
中点M的轨迹方程;
(2)若直线AB的方向向量为,当焦点为
时,求
的面积;
(3)若M是抛物线C准线上的点,求证:直线的斜率成等差数列.
(1) ;(2)
。
(3)显然直线的斜率都存在,分别设为
.
点的坐标为
.
联立方程组得到 ,
,得到
.
解析试题分析:
思路分析:(1) 利用“代入法”。
(2) 联立方程组得,
,应用弦长公式求
,得到面积。
(3)直线的斜率都存在,分别设为
.
点的坐标为
.
设直线AB:,代入抛物线得
, 确定
,
,得到
.
解:(1) 设,
,焦点
,则由题意
,即
所求的轨迹方程为,即
(2) ,
,直线
,
由得,
,
,
。
(3)显然直线的斜率都存在,分别设为
.
点的坐标为
.
设直线AB:,代入抛物线得
, 所以
,
又,
,
因而,
因而
而,故
.
考点:等差数列,求轨迹方程,直线与抛物线的位置关系。
点评:中档题,涉及“弦中点”问题,往往利用“代入法”求轨迹方程。涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题,往往通过联立方程组,应用韦达定理,简化解题过程。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的离心率
,且椭圆C上一点
到点Q
的距离最大值为4,过点
的直线交椭圆
于点
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P为椭圆上一点,且满足(O为坐标原点),当
时,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,已知椭圆
的左焦点为
,左、右顶点分别为
,上顶点为
,过
三点作圆
(Ⅰ)若线段是圆
的直径,求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若圆的圆心在直线
上,求椭圆的方程;
(Ⅲ)若直线交(Ⅱ)中椭圆于
,交
轴于
,求
的最大值
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1、F2,上顶点为A,△AF1F2为正三角形,且以线段F1F2为直径的圆与直线
相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程和离心率e;
(Ⅱ)若点P为焦点F1关于直线的对称点,动点M满足
. 问是否存在一个定点T,使得动点M到定点T的距离为定值?若存在,求出定点T的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
曲线C上任一点到定点(0,)的距离等于它到定直线
的距离.
(1)求曲线C的方程;
(2)经过P(1,2)作两条不与坐标轴垂直的直线分别交曲线C于A、B两点,且
⊥
,设M是AB中点,问是否存在一定点和一定直线,使得M到这个定点的距离与它到定直线的距离相等.若存在,求出这个定点坐标和这条定直线的方程.若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆的左焦点为F, 离心率为
, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知抛物线的焦点在抛物线
上.
(Ⅰ)求抛物线的方程及其准线方程;
(Ⅱ)过抛物线上的动点
作抛物线
的两条切线
、
, 切点为
、
.若
、
的斜率乘积为
,且
,求
的取值范围.
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