Question

11．已知x=1是f（x）=2x+$\frac{b}{x}$+lnx的一个极值点．
（1）求b的值，并指出x=1是极大值点还是极小值点；
（2）设g（x）=f（x）-$\frac{3}{x}$（$\frac{1}{e}$≤x≤e²），问：过点（2，5）可作几条直线与曲线y=g（x）相切？说明之．

Answer 1

分析 （1）由题意得f′（1）=2-b+1=0，从而解得b=3；从而确定x=1是极小值点；
（2）由题意化简g（x）=2x+lnx，设过点（2，5）的直线与曲线y=g（x）相切于点（a，2a+lna），从而可得$\frac{2}{a}$+lna-2=0，从而令h（a）=$\frac{2}{a}$+lna-2，则h′（a）=$\frac{a-2}{{a}^{2}}$，从而确定方程的解的个数即可．

解答 解：（1）∵x=1是f（x）=2x+$\frac{b}{x}$+lnx的一个极值点，
又∵f′（x）=2-$\frac{b}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
故f′（1）=2-b+1=0，
故b=3；
故f′（x）=$\frac{（x-1）（2x+3）}{{x}^{2}}$，
故x=1是极小值点；
（2）由题意，g（x）=f（x）-$\frac{3}{x}$=2x+lnx，
设过点（2，5）的直线与曲线y=g（x）相切于点（a，2a+lna），
g′（x）=2+$\frac{1}{x}$，故切线方程为y-（2a+lna）=（2+$\frac{1}{a}$）（x-a），
故5-（2a+lna）=（2+$\frac{1}{a}$）（2-a），
即$\frac{2}{a}$+lna-2=0，
令h（a）=$\frac{2}{a}$+lna-2，则h′（a）=$\frac{a-2}{{a}^{2}}$，
故h（a）=$\frac{2}{a}$+lna-2在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，
且h（$\frac{1}{e}$）=2e-1-2＞0，h（2）=1+ln2-2＜0，h（e²）=$\frac{2}{{e}^{2}}$+2-2＞0；
故$\frac{2}{a}$+lna-2=0在[$\frac{1}{e}$，e²]上有两个解，
故过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切．

点评 本题考查了导数的综合应用及导数在求切线时的应用．