Question

求值域：
（1）y=

2x

x2+3x+1

（x∈R且x²+3x+1≠0）
（2）y=

2x

x2+3x+1

（x∈[-

1

2

，

4

2

），且x²+3x+1≠0）

Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）当x=0时，y=0；当x≠0时，y=

2x

x2+3x+1

=

2

x+3+ 1 x

，从而求值域；
（2）当x=0时，y=0；当x≠0时，y=

2x

x2+3x+1

=

2

x+3+ 1 x

，又由x∈[-

1

2

，

4

2

），从而求值域．

解答： 解：（1）当x=0时，y=0；
当x≠0时，y=

2x

x2+3x+1

=

2

x+3+ 1 x

，
∵x+

1

x

+3≤1或x+

1

x

+3≥5，且x+

1

x

+3≠0；

2

x+3+ 1 x

≥2或

2

x+3+ 1 x

＜0或0＜

2

x+3+ 1 x

≤

2

5

；
综上所述，函数的值域为（-∞，

2

5

]∪[2，+∞）；
（2）当x=0时，y=0；
当x≠0时，y=

2x

x2+3x+1

=

2

x+3+ 1 x

，
∵x∈[-

1

2

，

4

2

），
∴x+

1

x

+3≤

1

2

或x+

1

x

+3≥5且x+

1

x

+3≠0；
∴

2

x+3+ 1 x

≥4或

2

x+3+ 1 x

＜0或0＜

2

x+3+ 1 x

≤

2

5

；
综上所述，函数的值域为（-∞，

2

5

]∪[4，+∞）．

点评：本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．