Question

下列几个命题：①直线y=x与函数y=sinx的图象有3个不同的交点；②函数y=tanx在定义域内是单调递增函数；③函数y=2^x-x²与y=(

1

2

)x-x2的图象关于y轴对称；④若函数y=lg（x²+2x+m）的值域为R，则实数m的取值范围为（-∞，1]；⑤若定义在R上的奇函数f（x）对任意x都有f（x）=f（2-x），则函数f（x）为周期函数．其中正确的命题为

 

（请将你认为正确的所有命题的序号都填上）．

Answer 1

分析：①令f（x）=x-sinx，f′（x）=1-cosx≥0，因此函数f（x）在R上单调递增，又f（0）=0，可得当x≠0时，f（x）≠0，因此直线y=x与函数y=sinx的图象只有1个交点．
②函数y=tanx在区间(kπ-

π

2

，kπ+

π

2

)(k∈Z)上单调递增，而在定义域内不是单调递增函数；
③函数f（x）=2^x-x²与f（-x）=

1

2x

-x2，可得f（x）≠f（-x），图象关于y轴不对称；
④若函数y=lg（x²+2x+m）的值域为R，则实数m的取值范围为（-∞，1]；
⑤若定义在R上的奇函数f（x）对任意x都有f（x）=f（2-x），则函数f（x）关于直线x=1对称，是周期函数．

解答：解：①令f（x）=x-sinx，f′（x）=1-cosx≥0，因此函数f（x）在R上单调递增，又f（0）=0，
∴当x≠0时，f（x）≠0，因此直线y=x与函数y=sinx的图象只有1个交点，因此不正确．
②函数y=tanx在区间(kπ-

π

2

，kπ+

π

2

)(k∈Z)上单调递增，而在定义域内不是单调递增函数，故不正确；
③函数f（x）=2^x-x²与f（-x）=

1

2x

-x2的图象关于y轴不对称；
④若函数y=lg（x²+2x+m）的值域为R，则实数m的取值范围为（-∞，1]；
⑤若定义在R上的奇函数f（x）对任意x都有f（x）=f（2-x），则函数f（x）关于直线x=1对称，是周期函数．
其中正确的命题为 ③④⑤．
故答案为：③④⑤．

点评：本题综合考查了函数的图象与性质，属于难题．