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在斜三棱柱中,平面平面ABC,.

(1)求证:

(2)若,求二面角的余弦值.

 

 

(1)证明过程详见解析;(2).

【解析】

试题分析:本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、线线平行、二面角的余弦等基础知识,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问,利用面面垂直的性质得BC⊥平面A1ACC1,则利用线面垂直的性质得A1A⊥BC,由A1B⊥C1C,利用平行线A1A∥C1C,则A1A⊥A1B,利用线面垂直的判定得A1A⊥平面A1BC,则利用线面垂直的性质得A1A⊥A1C;第二问,建立空间直角坐标系,得到面上的点的坐标,计算出向量坐标,求出平面和平面的法向量,利用夹角公式计算出二面角的余弦值.

(1)因为平面A1ACC1⊥平面ABC,AC⊥BC,所以BC⊥平面A1ACC1,

所以A1A⊥BC.

因为A1B⊥C1C,A1A∥C1C,所以A1A⊥A1B,

所以A1A⊥平面A1BC,所以A1A⊥A1C. 5分

(2)建立如图所示的坐标系C-xyz.

设AC=BC=2,因为A1A=A1C,

则A(2,0,0),B(0,2,0),A1(1,0,1),C(0,0,0).

=(0,2,0),=(1,0,1),=(-2,2,0).

设n1=(a,b,c)为面BA1C的一个法向量,则n1·=n1·=0,

,取n1=(1,0,-1).

同理,面A1CB1的一个法向量为n2=(1,1,-1). 9分

所以cos?n1,n2?=

故二面角B-A1C-B1的余弦值为. 12分

考点:线线垂直、线面垂直、面面垂直、线线平行、二面角的余弦.

 

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0.010

0.005

0.001

6.635

7.879

10.828

附:

 

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