在斜三棱柱中,平面
平面ABC,
,
,
.
(1)求证:;
(2)若,求二面角
的余弦值.
(1)证明过程详见解析;(2).
【解析】
试题分析:本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、线线平行、二面角的余弦等基础知识,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问,利用面面垂直的性质得BC⊥平面A1ACC1,则利用线面垂直的性质得A1A⊥BC,由A1B⊥C1C,利用平行线A1A∥C1C,则A1A⊥A1B,利用线面垂直的判定得A1A⊥平面A1BC,则利用线面垂直的性质得A1A⊥A1C;第二问,建立空间直角坐标系,得到面上的点的坐标,计算出向量坐标,求出平面和平面
的法向量,利用夹角公式计算出二面角的余弦值.
(1)因为平面A1ACC1⊥平面ABC,AC⊥BC,所以BC⊥平面A1ACC1,
所以A1A⊥BC.
因为A1B⊥C1C,A1A∥C1C,所以A1A⊥A1B,
所以A1A⊥平面A1BC,所以A1A⊥A1C. 5分
(2)建立如图所示的坐标系C-xyz.
设AC=BC=2,因为A1A=A1C,
则A(2,0,0),B(0,2,0),A1(1,0,1),C(0,0,0).
=(0,2,0),
=(1,0,1),
=(-2,2,0).
设n1=(a,b,c)为面BA1C的一个法向量,则n1·=n1·
=0,
则,取n1=(1,0,-1).
同理,面A1CB1的一个法向量为n2=(1,1,-1). 9分
所以cos?n1,n2?==
,
故二面角B-A1C-B1的余弦值为. 12分
考点:线线垂直、线面垂直、面面垂直、线线平行、二面角的余弦.
科目:高中数学 来源:2013-2014学年河北省石家庄市毕业班第一次模拟考试数学理文数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知O为锐角△ABC的外心,AB=6,AC=10,,且2x+10y=5,则边BC的长
为.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年河北省唐山市高三年级第二次模拟考试文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
长为3的线段两端点A,B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动,,点P的轨迹为曲线C.
(1)以直线AB的倾斜角为参数,求曲线C的参数方程;
(2)求点P到点距离的最大值.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年河北省唐山市高三年级第三次模拟考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知曲线的直角坐标方程为
. 以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. P是曲线
上一点,
,
,将点P绕点O逆时针旋转角
后得到点Q,
,点M的轨迹是曲线
.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)求的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年河北省唐山市高三年级第三次模拟考试理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
椭圆的左、右焦点为
,过
作直线
交C于A,B两点,若
是等腰直角三角形,且
,则椭圆C的离心率为( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年河北省高三下学期调研考试文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
2013年9月20日是第25个全国爱牙日。某区卫生部门成立了调查小组,调查 “常吃零食与患龋齿的关系”,对该区六年级800名学生进行检查,按患龋齿和不患龋齿分类,得汇总数据:不常吃零食且不患龋齿的学生有60名,常吃零食但不患龋齿的学生有100名,不常吃零食但患龋齿的学生有140名.
(1)能否在犯错概率不超过0.001的前提下,认为该区学生的常吃零食与患龋齿有关系?
(2)4名区卫生部门的工作人员随机分成两组,每组2人,一组负责数据收集,另一组负责数据处理.求工作人员甲分到负责收集数据组,工作人员乙分到负责数据处理组的概率.
0.010 | 0.005 | 0.001 | |
6.635 | 7.879 | 10.828 |
附:
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