Question

如图，已知四棱锥E-ABCD的底面ABCD是平行四边形，AE⊥BE，平面ACE⊥平面BCE，
CB=EB=2，CE=2

2

，AE=2

3

，点F，G分别是线段CD，BE的中点 
（1）求证：FG∥平面ADE
（2）（理科）求平面ADE与平面BEF夹角．
     （文科）求三棱锥E-ACD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以A为原点，过A作BE的平行线为x轴，AE为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明FG∥平面ADE．
（2）（理科）求出平面BEF的法向量和平面ADE的法向量，利用向量法能求出平面ADE与平面BEF夹角．（2）（文科）求出平面ACD的法向量和点E到平面ACD的距离，由此能求出三棱锥E-ACD的体积．

解答： （1）证明：取CE中点O，连结BO，
∵CB=EB=2，CE=2

2

，AE=2

3

，AE⊥BE，平面ACE⊥平面BCE
∴BC⊥BE，BO⊥CE，AB=

4+12

=4，∴BO⊥平面ACE，
∴AE⊥BO，又BO∩BE=B，∴AE⊥平面BEC，
∴BC⊥AE，又AE∩BE=E，∴BC⊥平面ABE，
∴四棱锥E-ABCD的底面ABCD是矩形，
以A为原点，过A作BE的平行线为x轴，AE为y轴，
AP为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得F（-1，

3

，2），G（-1，2

3

，0），

FG

=（0，

3

，-2），
又平面ADE的法向量

n

=（1，0，0），
∴

FG

•

n

=0，又FG在平面ADE外，
∴FG∥平面ADE．
（2）（理科）解：E（0，2

3

，0），B（-2，2

3

，0），

EB

=（-2，0，0），

EF

=（-1，-

3

，2），
设平面BEF的法向量

m

=（x，y，z），
则

m • EB =-2x=0 m • EF =-x- 3 y+2z=0

，取y=2，得

m

=（0，2，

3

），
∴cos＜

n

，

m

＞=0，
∴平面ADE与平面BEF夹角为90°．
（2）（文科）解：D（0，0，2），

AD

=（0，0，2），

AB

=（-2，2

3

，0），
设平面ACD的法向量

p

=（a，b，c），
则

p • AD =2c=0 p • AB =-2a+2 3 b=0

，取a=

3

，得

p

=（

3

，1，0），
∵

AE

=（0，2

3

，0），
∴点E到平面ACD的距离d=

| AE • p |

| p |

=

2 3

2

=

3

，
又S△ACD=

1

2

×2×4=4，
∴三棱锥E-ACD的体积V=

1

3

×S△ACD×d=

1

3

×

3

×4=

4 3

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面夹角的求法，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意向量法的合理运用．