Question

【题目】已知f（x）=2x﹣4x
（1）若x∈[﹣2，2]，求函数f（x）的值域；
（2）求证：函数f（x）在区间（﹣∞，﹣1]的单调递增．

Answer 1

【答案】
（1）解：令t=2x，则t＞0，f（x）=y=t﹣t2，

∵y=t﹣t2的图像是开口朝下，且以直线t= 为对称轴的抛物线，

故当t= ，即x=﹣1时，函数取最大值 ，无最小值，

故函数的f（x）的值域为（﹣∞， ]

（2）证明：∵x∈（﹣∞，﹣1]时，t=2x∈（0， ]，

此时t=2x为增函数，y=t﹣t2也为增函数，

根据复合函数单调性同增异减的原则，可得：

函数f（x）在区间（﹣∞，﹣1]的单调递增

【解析】（1）令t=2x ， 则t＞0，f（x）=y=t﹣t2 ， 结合二次函数的图像和性质，求出函数的最值，进而可得函数的值域；（2）当x∈（﹣∞，﹣1]时，t=2x∈（0， ]，结合二次函数的图像和性质，指数函数的图像和性质及，复合函数单调性同增异减的原则，可得结论．
【考点精析】掌握函数的值域和函数单调性的判断方法是解答本题的根本，需要知道求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．