Question

某大型工厂的车床有甲，乙，丙三个型号，分别占总数的

1

2

，

1

3

，

1

6

，现在有三名工人各自独立选一台车床操作．
（I）求他们选择的车床类型互不相同的概率；
（II）设ξ为他们选择甲型或丙型车床的人数，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（1）记第i名工人选择甲，乙，丙型车床分别为事件A_i，B_i，C_i，i=1，2，3．由题意知A₁，A₂，A₃相互独立，B₁，B₂，B₃相互独立，C₁，C₂，C₃相互独立A_i，B_j，B_k（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，P(Ai) =

1

2

，P(Bi) =

1

3

，P(Ci) =

1

6

，由此能求出他们选择的车床类型互不相同的概率为P=3!P（A₁B₂C₃）．
（2）法一：设3名工人中选择乙型车床的人数为η，则η～B(3，

1

3

)，且ξ=3-η．由此能求出ξ的分布列和ξ的数学期望．法二：设第i名工人选择甲或丙型车床记为事件D_i（i=1，2，3），则D₁，D₂，D₃相互独立，且P(Di) =1-

1

3

=

2

3

．所以ξ～B（3，

2

3

），由此能求出ξ的分布列和ξ的数学期望．

解答：解：（1）记第i名工人选择甲，乙，丙型车床分别为事件A_i，B_i，C_i，i=1，2，3．
由题意知A₁，A₂，A₃相互独立，
B₁，B₂，B₃相互独立，
C₁，C₂，C₃相互独立
A_i，B_j，B_k（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，
且P(Ai) =

1

2

，P(Bi) =

1

3

，P(Ci) =

1

6

，
他们选择的车床类型互不相同的概率为
P=3!P（A₁B₂C₃）
=6×

1

2

×

1

3

×

1

6

=

1

6

．
（2）解法一：设3名工人中选择乙型车床的人数为η，
则η～B(3，

1

3

)，
且ξ=3-η．
所以P（ξ=k）=P（η=3-k）=

C

3-k 3

(

1

3

)3-k(1-

1

3

)  k．
故ξ的分布列为

ξ	0	1	2	2
P	1 27	2 9	4 9	8 27

所以，ξ的数学期望为Eξ=3-Eη=3-3×

1

3

=2．
解法二：设第i名工人选择甲或丙型车床记为事件D_i（i=1，2，3），
则D₁，D₂，D₃相互独立，
且P(Di) =1-

1

3

=

2

3

．
所以ξ～B（3，

2

3

），
即P(ξ=k)=

C

k 3

(

2

3

)  k(1-

2

3

)3-k，k=0，1，2，3．
故ξ的分布列为

ξ	0	1	2	2
P	1 27	2 9	4 9	8 27

所以，ξ的数学期望为Eξ=3×

2

3

=2．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的性质的灵活运用．