Question

6．如图，在四棱锥A-BCC₁B₁中，等边三角形ABC所在平面与正方形BCC₁B₁所在平面互相垂直，BC=2，M，D分别为AB₁，CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥AB₁；
（Ⅱ）求三棱锥M-ABD的体积．

Answer 1

分析 （1）取BC中点E，连接AE，B₁E，则BD⊥平面AEB₁，从而得出BD⊥AB₁；
（2）设BD与B₁E交点为F，则三棱锥M-ABD可分解成两个小棱锥，即棱锥B-AMF和棱锥D-AMF，两个小棱锥底面相同，高度之和为BD，故只需计算△AMF的面积就可以求出大棱锥的体积．

解答 解：（1）取BC中点E，连接AE，B₁E，设BD与B₁E交点为F．
∵△ABC是等边三角形，∴AE⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BCC₁B₁，平面ABC∩平面BCC₁B₁=BC，∴AE⊥平面BCC₁B₁，
∵BD?平面BCC₁B₁，∴AE⊥BD．
∵四边形BCC₁B₁是正方形，M，D分别为AB₁，CC₁的中点，∴BE=DM=$\frac{1}{2}$BC=1，BB₁=BC=2，∠BCD=∠B₁BC=90°，
∴△BCD≌△B₁BE，∴∠CBD=∠BB₁E，
∵∠CBD+∠B₁BF=90°，∴∠BB₁E+∠B₁BF=90°，∴∠BFB₁=90°，∴B₁E⊥BD．
∵AE?平面AB₁E，BE?平面AB₁E，AE∩BE=E，∴BD⊥平面AB₁E，
∵AB₁?平面AB₁E，∴BD⊥AB₁．
（2）连接AF，MF，
∵AB=BB₁，∴△ABB₁是等腰三角形，∵M是AB₁的中点，∴BM⊥AB₁，
又∵BD⊥AB₁．BD?平面BDM，BM?平面BDM，BM∩BD=B，∴AB₁⊥平面BDM，
∵MF?平面BDM，∴MF⊥AB₁．∴△B₁MF∽△B₁EA，∴$\frac{MF}{AE}$=$\frac{{B}_{1}M}{{B}_{1}E}$，
∵BC=2，∴AE=$\sqrt{3}$，BD=B₁E=$\sqrt{5}$，AB₁=2$\sqrt{2}$，∴AM=B₁M=$\frac{1}{2}$AB₁=$\sqrt{2}$，
∴MF=$\frac{AE•{B}_{1}M}{{B}_{1}E}$=$\frac{\sqrt{30}}{5}$．
∴S_△AMF=$\frac{1}{2}$AM•MF=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴V_棱锥M-ABD=V_棱锥B-AMF+V_棱锥D-AMF=$\frac{1}{3}$•S_△AMF•BF+$\frac{1}{3}$•S_△AMF•DF=$\frac{1}{3}$•S_△AMF•BD=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{15}}{5}$×$\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的性质与判断和棱锥的体积求法，将要求的棱锥分解成两个同底小棱锥是解题的关键，计算量较大．