Question

若a=

∫

1 0

 (2x+1)dx，则二项式（ax+

1

x

）⁶的展开式中的常数项为

 

．

Answer 1

分析：由定积分的定义，令F'（x）=2x-1，则F（x）=x²-x，由公式求出积分值，从而求出a的值，再用展开式的通项求常数项．

解答：解：由导数的运算法则知当F（x）=x²+x时，F'（x）=2x+1
  由定积分的定义得
a=∫₀¹（2x+1）dx=F（1）-F（0）=2-0=2
 （2x+

1

x

）⁶展开式的通项为T _k+1=C₆^k（2x）^6-k（

1

x

）^k=2^6-kC₆^kx^6-2k
令6-2k=0得k=3
展开式中的常数项为2³C₆³=160
故答案为：160

点评：本题考点是定积分，此类题高中要求较低，能根据公式求值即可，以及二项展开式的通项公式是解决二项展开式特殊项问题的方法．