【题目】现有一段长度为
的木棍，希望将其锯成尽可能多的小段，要求每一小段的长度都是整数，并且任何一个时刻，当前最长的一段都严格小于当前最短的一段长度的2倍，记对符合条件时的最多小段数为
，则（ ）。
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】AC
【解析】
当
时最多可锯成三段：7=3+4=3+2+2，所以
，选项A正确，B不正确；若
时，最多能锯成6段，具体构造如下：30=12+18=12+10+8=6+6+10+8=6+6+5+5+8=6+6+5+5+4+4.
下证大于6段是不可能成立的.
若可以锯成7段，设为
（其中
），显然
.如果
，则
，而
，矛盾.因此，
或6.
当
时，只能是6+4+4+4+4+4+4，退一步必出现6+4=10，或4+4=8，8与4共同出现在等式中，由题意知这是不可能的，矛盾.
同理，当时，所有情况为5+5+4+4+4+4+4，或5+5+5+4+4+4+3，或5+5+5+5+4+3+3.
针对以上情形采取还原的方法都可得出矛盾.
综上，时最多能锯成6段，即
，所以选项C正确，选项D不正确.
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【题目】在平面直角坐标系
中，已知点
，
，
为动点，且直线
与直线
的斜率之积为
.
（1）求动点的轨迹
的方程；
（2）设过点
的直线
与曲线相交于不同的两点
，
.若点
在
轴上，且
，求点的纵坐标的取值范围.
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【题目】在直角坐标坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），以直角坐标系的原点为极点，以
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线
的极坐标方程为
.
（1）求曲线的普通方程；
（2）若与曲线相切，且与坐标轴交于
两点，求以
为直径的圆的极坐标方程.
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【题目】已知集合
为平面
内的一个有限点集, 
为平面内的一个正三角形,集合
,且
.若对任意满足条件的集合S,均可以被正三角形的两个平移图形覆盖,证明:集合可以被正三角形的两个平移图形覆盖.
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【题目】凸多面体的每个面均为三角形，每条棱上均标记字母
之一，且每个面的三条边上恰各有一个。对每一个面，当旋转多面体使该面在我们眼前时，按照字母顺序观察其三边，若是逆时针方向，则称其为正面；否则，称其为反面。证明：正面与反面的数目之差能被4整除。
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【题目】已知焦点在
轴上的抛物线
过点
，椭圆
的两个焦点分别为
，其中
与的焦点重合，过
与长轴垂直的直线交椭圆于
两点且
,曲线
是以原点为圆心以
为半径的圆.
（1）求与及的方程；
（2）若动直线
与圆相切,且与交与
两点,三角形
的面积为
，求的取值范围.
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【题目】将4个编号为1、2、3、4的小球放人编号为1、2、3、4的盒子中．
（1）恰好有一个空盒，有多少种放法？
（2）每个盒子放一个球，且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？
（3）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
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【题目】关于函数f（x）
（x∈R），有下述四个结论：
①任意x∈R，等式f（﹣x）+f（x）＝0恒成立；
②任意x1，x2∈R，若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；
③存在m∈（0，1），使得方程|f（x）|＝m有两个不等实数根；
④存在k∈（1，+∞），使得函数g（x）＝f（x）﹣kx在R上有三个零点．
其中包含了所有正确结论编号的选项为（ ）
A.①②③④B.①②③C.①②④D.①②
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