Question

已知三角形的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量，，若．

（1）求角B的大小；

（2）若△ABC的面积为，求AC边的最小值，并指明此时三角形的形状．

Answer 1

考点：

余弦定理；三角形的形状判断；正弦定理．

专题：

解三角形．

分析：

（1）利用两个向量共线的性质、正弦定理可得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，由sinA＞0，求得，从而求得B的值．

（2）由△ABC的面积为，求得ac=4，再利用余弦定理以及基本不等式求出AC的最小值．

解答：

解：（1），∵，∴（2a﹣c）cosB=bcosC．

由正弦定理得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，

整理得：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，

即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA＞0，∴．

∵0＜B＜π，∴． …（6分）

（2）由已知得：，∴ac=4．

由余弦定理，b²=a²+c²﹣2accosB=a²+c²﹣ac≥2ac﹣ac=ac，当且仅当“a=c”时取等号．

∴AC的最小值为2，此时三角形为等边三角形．…（12分）

点评：

本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两个向量共线的性质，两角和差的正弦公式，基本不等式，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．