Question

（文）已知以a为首项的数列{a_n}满足：an+1=

an-3，an＞3 2an，an≤3.

（1）若0＜a_n≤6，求证：0＜a_n+1≤6；
（2）若a，k∈N﹡，求使a_n+k=a_n对任意正整数n都成立的k与a；
（3）若a=

3

2m-1

（m∈N﹡），试求数列{a_n}的前m项的和s_m．

Answer 1

分析：（1）根据a_n∈（0，3]时，则a_n+1=2a_n∈（0，6]，当a_n∈（3，6]时，则a_n+1=a_n-3∈（0，3]，故知a_n+1∈（0，6]，所以当0＜a_n≤6时，总有0＜a_n+1≤6，
（2）分类讨论a的值，当a=1时满足题意的k=3t，同理证明a=2或4时，k和t的关系，再证明a=5或a≥7时k与t之间的关系，
（3）由m∈N*，可得2^m-1≥1，故a=

3

2m-1

≤3，然后证明当1＜k≤m时2^k-1a的取值范围，根据数列求和的知识点求出{a_n}的前m项的和s_m．

解答：解：（1）当a_n∈（0，3]时，则a_n+1=2a_n∈（0，6]，当a_n∈（3，6]时，则a_n+1=a_n-3∈（0，3]，
故a_n+1∈（0，6]，所以当0＜a_n≤6时，总有0＜a_n+1≤6．　 …（5分）
（2）①当a=1时，a₂=2，a₃=4，a₄=1，故满足题意的k=3t，t∈N*．
同理可得，当a=2或4时，满足题意的k=3t，t∈N*．
当a=3或6时，满足题意的k=2t，t∈N*．
②当a=5时，a₂=2，a₃=4，a₄=1，故满足题意的k不存在．
③当a≥7时，由（1）知，满足题意的k不存在．
综上得：当a=1，2，4时，满足题意的k=3t，t∈N*；
当a=3，6时，满足题意的k=2t，t∈N*．    …（12分）
（3）由m∈N*，可得2^m-1≥1，故a=

3

2m-1

≤3，
当1＜k≤m时，2k-1a≤

3×2m-1

2m-1

=

3×2m-1

2m-1+(2m-1-1)

＜

3×2m-1

2m-1

=3
∴a_k=2^k-1a（k=1，2，…m）（15分）
∴S_m=a₁+a₂+•…+a_m=（1+2+…+2^m-1）a=（2^m-1）a=3---------（18分）．

点评：本题主要考查数列和不等式的综合的知识点，解答本题的关键是熟练掌握数列的求和等知识，此题难度有点大，作答时需要注意．