Question

【题目】已知四棱锥﹣中，底面ABCD是矩形，⊥平面，，是的中点，是线段上的点．

(1)当是的中点时，求证：∥平面．

(2)当：= 2：1时，求二面角﹣﹣的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

取PC中点G，连接FG,EG,推导四边形AEGF是平行四边形，从而可得AF∥EG，由此能证明∥平面;

以点A为原点，AB为轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出二面角﹣﹣的余弦值.

（1）取PC中点G，连结FG，EG，

∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，F是PD的中点，

E是线段AB的中点，

∴FGDC，AEDC，∴FGAE，

∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG，

∵EG平面PEC，AF平面PEC，

∴AF∥平面PEC．

（2）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

由题意得E（2，0，0），P（0，0，1），C（3，1，0），D（0，1，0），

=（3，1，﹣1），=（0，1，﹣1），=（2，0，﹣1），

设平面PCD的法向量=（x，y，z），

则，取y=1，得=（0，1，1），

设平面PCE的法向量=（a，b，c），

则，取a=1，

得=（1，﹣1，2），

设二面角E﹣PC﹣D的平面角为θ，

则cosθ===．

∴二面角E﹣PC﹣D的余弦值为．