Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣alnx﹣a． （Ⅰ）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）证明：对于a∈（0，e），f（x）在区间 上有极小值，且极小值大于0．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=ex﹣alnx﹣a，x＞0， 由a=e，则f（x）=ex﹣e（lnx﹣1），求导f′（x）=ex﹣ ，
由f（1）=0，f′（1）=0，
∴y=f（x）在（1，f（1））处切线方程为y=0，
（Ⅱ）由a∈（0，e），则导f′（x）=ex﹣ ，在（ ，1）上是单调递增函数，
由f′（ ）= ﹣e＜0，f′（1）=e﹣a＞0，
则x0∈（ ，1）使得 ﹣ =0，
∴x∈（ ，x0），f′（x0）＜0，x∈（x0 ， 1），f′（x0）＞0，
故f（x）在（ ，x0）上单调递减，在（x0 ， 1）上单调递增，
∴f（x）有极小值f（x0），由 ﹣ =0，
则f（x0）= ﹣a（lnx0+1）=a（ ﹣lnx0﹣1），
设g（x）=a（ ﹣lnx﹣1），x∈（ ，1），
g′（x）=a（﹣ ﹣ ）=﹣ ，
∴g（x）在（ ，1）上单调递减，
∴g（x）＞g（1）=0，
即f（x0）＞0，
∴函数f（x）的极小值大于0．
【解析】（Ⅰ）求导，f′（x）=ex﹣ ，f（1）=0，f′（1）=0，y=f（x）在（1，f（1））处切线方程为y=0；（Ⅱ）由题意可知：f′（x）=ex﹣ ，在（ ，1）上是单调递增函数，则x0∈（ ，1）使得 ﹣ =0，根据函数的零点判定定理，f（x）有极小值f（x0），由 ﹣ =0，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性即可求得f（x0）＞0，即f（x）在区间 上有极小值，函数f（x）的极小值大于0．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．