已知tan110°=a，求tan50°时，同学甲利用两角差的正切公式求得： $数学公式$ ；同学乙利用二倍角公式及诱导公式得 $数学公式$ ；根据上述信息可估算a的范围是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
（-3，-2）
D.
$数学公式$

C
分析：先根据正切函数的单调性判断a的大致范围，再由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 得到关系a的等式并且一定有解，再构成函数后根据函数零点的判定定理缩小范围得到答案．
解答：∵tan105°＜tan110°=a＜tam120°，
tan105°=tan（60°+45°）= $\text{[math]}$ ，tan120°=- $\text{[math]}$
∴-4＜-2- $\text{[math]}$ ＜a＜- $\text{[math]}$ ＜-1
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ a³+3 $\text{[math]}$ =0有根
令f（a）= $\text{[math]}$ a³+3 $\text{[math]}$ ，
∵f（-4）f（-3）=（-64 $\text{[math]}$ +48+12 $\text{[math]}$ -1）（-18 $\text{[math]}$ -26）＞0
f（-3）f（-2）=（-18 $\text{[math]}$ -26）（-2 $\text{[math]}$ +11）＜0
∴函数f（a）= $\text{[math]}$ a³+3 $\text{[math]}$ 的零点一定在（-3，-2）上，
故 $\text{[math]}$ a³+3 $\text{[math]}$ =0的根一定在（-3，-2）上
即a是在（-3，-2）上
故选C．
点评：本题主要考查正切函数的单调性与函数零点的判定定理．正切的两角和公式的应用．考查了学生综合素养和运算能力．

练习册系列答案

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