Question

抛物线y=g（x）过点O（0，0）、A（m，0）与点P（m+1，m+1），其中m＞n＞0，b＜a，设函数f（x）=（x﹣n）g（x）在x=a和x=b处取到极值．

（1）用m，x表示y=g（x）并比较a，b，m，n的大小（要求按从小到大排列）；

（2）若，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线y=f（x）均相切，求y=f（x）．

Answer 1

考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

专题：

综合题．

分析：

（1）设抛物线方程，利用抛物线过点P，可得k=1，从而可得y=g（x）=x（x﹣m），利用函数f（x）在x=a和x=b处取到极值，结合m＞n＞0，即可比较a，b，m，n的大小；

（2）设切点Q（x₀，y₀），求导数，可得切线的方程，利用切线过原点，得两条两条切线的斜率，根据，两条切线垂直，即可求得函数解析式．

解答：

解：（1）由抛物线经过点O（0，0）、A（m，0）

设抛物线方程y=kx（x﹣m）（k≠0），

又抛物线过点P（m+1，m+1），则m+1=k（m+1）（m+1﹣m），得k=1，

所以y=g（x）=x（x﹣m）．              …（3分）

∴f（x）=（x﹣n）g（x）=x³﹣（m+n）x²+mnx，

∴f′（x）=3x²﹣2（m+n）x+mn，

∵函数f（x）在x=a和x=b处取到极值，…（5分）

∴f′（a）=0，f′（b）=0，

∵m＞n＞0，

∴f′（m）=3m²﹣2（m+n）m+mn=m（m﹣n）＞0    …（7分）

f′（n）=3n²﹣2（m+n）n+mn=n（n﹣m）＜0，

又b＜a，故b＜n＜a＜m．                                    …（8分）

（2）设切点Q（x₀，y₀），则切线的斜率k=f′（x₀）=3x₀²﹣2（m+n）x₀+mn

又y₀=﹣（m+n）+mnx₀，所以切线的方程是y﹣+（m+n）﹣mnx₀=[3x₀²﹣2（m+n）x₀+mn]（x﹣x₀）…（9分）

又切线过原点，故﹣+（m+n）﹣mnx₀=[3x₀²﹣2（m+n）x₀+mn]（﹣x₀）

所以2﹣（m+n）=0，解得x₀=0，或x₀=．      …（10分）

两条切线的斜率为k₁=f′（0）=mn，，

由，得（m+n）²≥8，∴，

∴，

所以…（12分）

又两条切线垂直，故k₁k₂=﹣1，

所以上式等号成立，有，且mn=1．

所以f（x）=x³﹣（m+n）x²+mnx=x³﹣x²+x．           …13 分

点评：

本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．