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精英家教网如图,已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B1的中点,则直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值是(  )
A、
15
5
B、
15
3
C、
10
3
D、
10
5
分析:以D为原心,以DA为x轴,以DC为y轴,以DD1为z轴,建立空间直角坐标系D-xyz,利用向量法能求出直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值.
解答:精英家教网解:以D为原心,以DA为x轴,以DC为y轴,以DD1为z轴,
建立空间直角坐标系D-xyz,
∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是A1B1的中点,
∴A(1,0,0),E(1,
1
2
,1),B(1,1,0)
D1(0,0,1),
AE
=(0,
1
2
,1),
AB
=(0,1,0),
AD1
=(-1,0,1),
设平面ABC1D1的法向量
n
=(x,y,z)

n
AD1
=0,
n
AB
=0,
-x+z=0
y=0
,∴
n
=(1,0,1)

设直线AE与平面与平面ABC1D1所成的角为θ,
则sinθ=|cos<
AE
n
>|=|
1
2
5
4
|=
10
5

故选:D.
点评:本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法,是中档题,解题时要注意向量法的合理运用.
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11
12
11
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