Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．
（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】证明：（I）∵AB=AC=2，D是B1C1的中点．

∴A1D⊥B1C1，

∵BC∥B1C1，

∴A1D⊥BC，

∵A1O⊥面ABC，A1D∥AO，

∴A1O⊥AO，A1O⊥BC

∵BC∩AO=O，A1O⊥A1D，A1D⊥BC

∴A1D⊥平面A1BC

解：（II）

建立坐标系如图

∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4

∴O（0，0，0），B（0， ，0），B1（﹣ ， ， ），A1（0，0， ）

即 =（0， ，﹣ ）， =（0， ，0）， =（ ，0， ），

设平面BB1C1C的法向量为 =（x，y，z），

即得出

得出 =（ ，0，1），| |=4，| |=

∵ = ，

∴cos＜ ， ＞= = ，

可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值为

【解析】（I）连接AO，A1D，根据几何体的性质得出A1O⊥A1D，A1D⊥BC，利用直线平面的垂直定理判断．（II）利用空间向量的垂直得出平面BB1C1C的法向量 =（ ，0，1），|根据与 数量积求解余弦值，即可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．