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函数设a为实常数,y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=4x+
a2x
+9,若f(x)≥a+1对一切x≥0恒成立,则a的取值范围为
(-∞,-2]
(-∞,-2]
分析:利用奇函数的性质可得:当x>0时,f(x)=-f(-x)=4x+
a2
x
-9.当x>0时,化为4x2-(a+10)x+a2≥0在x>0时恒成立.
令g(x)=4x2-(a+10)x+a2,转化为
-
-(a+10)
8
≤0
g(0)≥0
,或△=(a+10)2-16a2≤0.当x=0时,比较简单.
解答:解:设x>0,则-x<0,∴f(-x)=-4x-
a2
x
+9.
由于f(x)≥a+1对一切x≥0恒成立,
(1)当x>0时,f(x)=-f(-x)=4x+
a2
x
-9,∴4x+
a2
x
-9≥a+1
恒成立,
化为4x2-(a+10)x+a2≥0在x>0时恒成立.
令g(x)=4x2-(a+10)x+a2
利用二次函数的图象与性质可得两种情况:①对称轴在y轴的左侧或是y轴
-
-(a+10)
8
≤0
g(0)≥0
,或②图象不在x轴的下方,则△=(a+10)2-16a2≤0,
解得①a≤-10.②a≤-2或a
10
3

(2)当x=0时,f(0)=0≥a+1恒成立,解得a≤-1.
综上可知:(-∞,-2].
点评:熟练掌握奇函数的性质和二次函数的图象与△的关系是解题的关键.
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a2
x
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a≤-
8
7
a≤-
8
7

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