Question

已知直线y=-x+m与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)相交于A、B两点，若椭圆的离心率为

3

3

，焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若向量

OA

•

OB

=0（其中0为坐标原点），求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率为

3

3

，焦距为2，结合b=

a2-c2

，求出几何量，即可求椭圆方程；
（Ⅱ）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，即可求得m的值．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为

3

3

，焦距为2，
∴

c

a

=

3

3

，2c=2
∴c=1，a=

3

∴b=

a2-c2

=

2

∴椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
将直线y=-x+m，代入椭圆方程，整理可得5x²-6mx+3m²-6=0
∴x₁+x₂=

6m

5

，x₁x₂=

3m2-6

5

∴y₁y₂=

2m2-6

5

∵

OA

•

OB

=0（其中0为坐标原点），
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴

3m2-6

5

+

2m2-6

5

=0
∴m=±

2 15

5

，此时△=36m²-20（3m²-6）=

312

5

＞0．

点评：本题考查椭圆的坐标方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．