Question

已知函数f（x）=

2

•sin(2x+

π

3

)，求
（1）函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合和周期；
（2）函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）当2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，（k∈Z）时，可求得函数f（x）取得最大值时自变量x的集合，利用三角函数的性质可求得最值及周期；
（2）利用正弦函数的单调性质可求得函数f（x）的单调增区间．

解答：解：（1））∵f（x）=

2

sin（2x+

π

3

），
当2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z，
即x=kπ+

π

12

，k∈Z，时，函数f（x）取得最大值

2

，
且取得最大值的自变量x的集合{x|x=kπ+

π

12

，k∈Z}
故函数f（x）取得最大值周期T=

2π

2

=π…（6分）
（2）当2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

时，即kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z）时，
f（x）=

2

sin（2x+

π

3

）单调递增，
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）…（6分）

点评：本题考查正弦函数的单调性、周期性及最值，考查规范答题与分析运算的能力，属于中档题．