Question

【题目】如图，在四棱锥中，⊥底面，⊥，∥，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．

（1）证明：BE⊥DC；

（2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）解析（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出 =（0，1，1），=（2，0，0），由.=0，能证明BE⊥DC；（Ⅱ）由BF⊥AC，求出，进而求出平面FBA的法向量和平面ABP的法向量，由此利用向量法能求出二面角F﹣AB﹣P的余弦值．

详解: (1)以点为原点建立空间直角坐标系如图，可得，，，

由为棱的中点，得，故，

所以·＝0，所以BE⊥DC.

(2) ，，，

由点在棱上，设＝λ，，

故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．

由BF⊥AC，得·＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝，

即＝

设为平面的法向量，

则,即

不妨令z＝1，可得为平面FAB的一个法向量．取平面的法向量，

则cos〈n1，n2〉＝＝＝－.

易知，二面角是锐角，所以余弦值为