【题目】如图,在四棱锥中,
⊥底面
,
⊥
,
∥
,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
(1)证明:BE⊥DC;
(2)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.
【答案】(1)解析(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,求出 =(0,1,1),
=(2,0,0),由
.
=0,能证明BE⊥DC;(Ⅱ)由BF⊥AC,求出
,进而求出平面FBA的法向量和平面ABP的法向量,由此利用向量法能求出二面角F﹣AB﹣P的余弦值.
详解: (1)以点为原点建立空间直角坐标系如图,可得
,
,
,
由为棱
的中点,得
,故
,
所以·
=0,所以BE⊥DC.
(2) ,
,
,
由点在棱
上,设
=λ
,
,
故=
+
=
+λ
=(1-2λ,2-2λ,2λ).
由BF⊥AC,得·
=0,因此2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=
,
即=
设为平面
的法向量,
则,即
不妨令z=1,可得为平面FAB的一个法向量.取平面
的法向量
,
则cos〈n1,n2〉==
=-
.
易知,二面角是锐角,所以余弦值为
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,已知曲线
的参数方程为
(
为参数)。曲线
的参数方程为
(
为参数),在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线,
的极坐标方程;
(2)在极坐标系中,射线与曲线
交于点
,射线
与曲线
交于点
,求
的面积(其中
为坐标原点).
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【题目】已知都是定义域为
的连续函数.已知:
满足:①当
时,
恒成立;②
都有
.
满足:①
都有
;②当
时,
.若关于
的不等式
对
恒成立,则
的取值范围是
A. B.
C. D.
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【题目】下列命题中,真命题的序号是__________.
①“若,则
”的否命题;
②“,函数
在定义域内单调递增”的否定;
③“”是“
”的必要条件;
④函数与函数
的图象关于直线
对称.
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【题目】已知椭圆:
(
)经过点
,且两个焦点
,
的坐标依次为
和
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设,
是椭圆
上的两个动点,
为坐标原点,直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,若
,证明:直线
与以原点为圆心的定圆相切,并写出此定圆的标准方程.
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【题目】如图,焦点在轴上的椭圆
与焦点在
轴上的椭圆
都过点
,中心都在坐标原点,且椭圆
与
的离心率均为
.
(Ⅰ)求椭圆与椭圆
的标准方程;
(Ⅱ)过点M的互相垂直的两直线分别与,
交于点A,B(点A、B不同于点M),当
的面积取最大值时,求两直线MA,MB斜率的比值.
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【题目】对一批产品的内径进行抽查,已知被抽查的产品的数量为200,所得内径大小统计如表所示:
(Ⅰ)以频率估计概率,若从所有的这批产品中随机抽取3个,记内径在的产品个数为X,X的分布列及数学期望
;
(Ⅱ)已知被抽查的产品是由甲、乙两类机器生产,根据如下表所示的相关统计数据,是否有的把握认为生产产品的机器种类与产品的内径大小具有相关性.
参考公式:,(其中
为样本容量).
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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