Question

7．已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0，且直线与圆C交于A，B两点，若点P（1，1）满足2$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$，则直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0．

Answer 1

分析 根据直线l：mx-y+1-m=0 过定点P（1，1），再根据点P在圆C：x²+（y-1）²=5的内部，可得直线L与圆C总有两个交点．设点A（x₁，mx₁-m+1），点B（x₂，mx₂-m+1 ），由2$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$，可得2x₁+x₂=3，再把直线方程 y-1=m（x-1）代入圆C，化简可得x₁+x₂=$\frac{2{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，联立解得点A的坐标，把点A的坐标代入圆C的方程求得m的值，从而求得直线l的方程．

解答 解：直线l：mx-y+1-m=0，即 y-1=m（x-1），故直线过定点P（1，1），
∵1²+（1-1）²=1＜5，故点P在圆C：x²+（y-1）²=5的内部，故直线l与圆C总有两个交点．
设点A（x₁，mx₁-m+1），点B（x₂，mx₂-m+1 ），
由2$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$，可得 2（1-x₁，-mx₁+m ）=（x₂-1，mx₂-m ），
∴2-2x₁=x₂-1，即 2x₁+x₂=3． ①
再把直线方程 y-1=m（x-1）代入圆C：x²+（y-1）²=5，化简可得 （1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，
由根与系数的关系可得x₁+x₂=$\frac{2{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$．②
由①②解得 x₁=$\frac{3+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，故点A的坐标为（$\frac{3+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，$\frac{1+2m+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$）．
把点A的坐标代入圆C的方程可得 m²=1，故 m=±1，
故直线l的方程为 x-y=0或x+y-2=0．
故答案为：x-y=0或x+y-2=0．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．