Question

平面直角坐标系xoy中，直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为
（1）求圆O的方程；
（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；
（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出O点到直线x-y+1=0的距离，进而可求圆O的半径，即可得到圆O的方程；
（2）设直线l的方程，利用直线l与圆O相切，及基本不等式，可求DE长最小时，直线l的方程；
（3）设M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），则N（x₁，-y₁），，，求出直线MP、NP分别与x轴的交点，进而可求mn的值．
解答：解：（1）因为O点到直线x-y+1=0的距离为，（2分）
所以圆O的半径为，
故圆O的方程为x²+y²=2．                         （4分）
（2）设直线l的方程为，即bx+ay-ab=0，
由直线l与圆O相切，得，即，（6分）
，
当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l的方程为x+y-2=0．（10分）
（3）设M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），则N（x₁，-y₁），，，
直线MP与x轴交点，，
直线NP与x轴交点，，（14分）
===2，
故mn为定值2．                                （16分）
点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查学生的运算能力，属于中档题．