Question

6．已知正实数a、b、c满足$\frac{1}{e}≤\frac{c}{a}$≤2，clnb=a+clnc，其中e是自然对数的底数，则ln$\frac{b}{a}$的取值范围是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． $[{1，\frac{1}{2}+ln2}]$
• C． （-∞，e-1]
• D． [1，e-1]

Answer 1

分析 由clnb=a+clnc化为lnb=$\frac{a}{c}$+lnc，可得ln$\frac{b}{a}$=lnlnb-lna=$\frac{a}{c}$+lnc-lna=$\frac{a}{c}$+ln $\frac{c}{a}$，令 $\frac{c}{a}$=x，可得ln $\frac{b}{a}$=f（x）=$\frac{1}{x}$+lnx，$\frac{1}{e}$≤x≤2．再利用导数研究其单调性极值与最值即可．

解答 解：由clnb=a+clnc化为lnb=$\frac{a}{c}$+lnc，
∴ln$\frac{b}{a}$=lnb-lna=$\frac{a}{c}$+lnc-lna=$\frac{a}{c}$+ln$\frac{c}{a}$，
令$\frac{c}{a}$=x，则ln$\frac{b}{a}$=f（x）=$\frac{1}{x}$+lnx，$\frac{1}{e}$≤x≤2．
f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0，解得x=1．
当$\frac{1}{e}$≤x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当1＜x≤2时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
∴当x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（1）=1+ln1=1．
又f（2）=$\frac{1}{2}$+ln2，f（$\frac{1}{e}$）=e+ln$\frac{1}{e}$=e-1，
f（$\frac{1}{e}$）-f（2）=e-ln2-$\frac{3}{2}$＞e-lne-$\frac{3}{2}$=e-2.5＞0，
∴e-1＞$\frac{1}{2}$+ln2，
因此f（x）的最大值为e-1．
综上可得：f（x）∈[1，e-1]．
即ln$\frac{b}{a}$的取值范围是[1，e-1]．
故选：D．

点评 本题考查了经过变形把问题转化为利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题．