Question

已知三点A（0，4）、B（0，-4）、C（7，-3），△ABC外接圆为圆M（圆心M）．
（1）求圆M的方程；
（2）若N（-7，0），R在圆M上运动，平面上一动点P满足

RP

=4

PN

，求动点P的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）中A（0，4）、B（0，-4），可得△ABC外接圆M的圆心在x轴上，设M（a，0），利用MA=MC，求出圆心坐标与半径，即可求圆M的方程；
（2）中设所求的点的坐标为（x，y），然后利用向量的关系式

RP

=4

PN

，点随着点动的思想得到轨迹方程．

解答：解：（1）∵A（0，4）、B（0，-4）
∴△ABC外接圆M的圆心在x轴上，
设M（a，0），则r²=a²+16=（a-7）²+（0+3）²，
∴a=3，圆的半径为5，
∴圆M的标准方程：（x-3）²+y²=25；
（2）设P（x，y），R（x₀，y₀），则
∵

RP

=4

PN

，
∴（x-x₀，y-y₀）=4（-7-x，-y），
∴x₀=28-5x，y₀=5y，
∵（x₀-3）²+y₀²=25，
∴（28-5x-3）²+（5y）²=25
化简可得动点P的轨迹方程：（x+5）²+y²=1．

点评：本题主要是考查了圆的方程的求解和动点的轨迹方程的求解的综合运用，考查学生的计算能力，正确运用点随着点动的思想是关键．