【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2a+b)cosC+ccosB=0.
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)求sinAcosB的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)由题意知,(2a+b)cosC+ccosB=0, ∴由正弦定理得,(2sinA+sinB)cosC+sinCcosB=0,
则2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0,
即sin(B+C)=﹣2sinAcosC,
∵△ABC中,sin(B+C)=sin(π﹣A)=sinA>0,
∴1=﹣2cosC,得cosC= ,
又0<C<π,∴C= ;
(Ⅱ)由(I)得C= ,则A+B=π﹣C= ,
即B= ﹣A,所以 ,
∴sinAcosB=sinAcos( ﹣A)
=sinA(cos cosA+sin sinA)=sinA( cosA+ sinA)
= sin2A+ = ( )
=
∵ ,∴ ,
则 ,
即 ,
∴sinAcosB的取值范围是 .
【解析】(Ⅰ)由正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式化简已知的式子,由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C的大小;(Ⅱ)由(I)和内角和定理表示出B,并求出A的范围,代入sinAcosB后,由两角差的余弦公式、正弦公式化简后,由A的范围和正弦函数的性质求出答案.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握正弦定理:;余弦定理:;;.
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【题目】如图所示,点O为数轴的原点,A,B,M为数轴上三点,C为线段OM上的动点.设x表示点C与原点的距离,y表示点C到点A的距离的4倍与点C到点B的距离的6倍之和.
(1)将y表示为x的函数;
(2)要使y的值不超过70,实数x应该在什么范围内取值?
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中,双曲线E的参数方程为 (θ为参数),设E的右焦点为F,经过第一象限的渐进线为l.以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线l的极坐标方程;
(2)设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A,P是l上异于原点O的点,当A,O,F,P四点在同一圆上时,求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标.
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【题目】如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别是AB,BC的中点,BD与EF交于点H,G为BD中点,点R在线段BH上,且 =λ(λ>0).现将△AED,△CFD,△DEF分别沿DE,DF,EF折起,使点A,C重合于点B(该点记为P),如图2所示.
(I)若λ=2,求证:GR⊥平面PEF;
(Ⅱ)是否存在正实数λ,使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为 ?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2acosC=bcosC+ccosB.
(1)求角C的大小;
(2)若c=,a2+b2=10,求△ABC的面积.
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【题目】设数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=nan﹣2n(n﹣1),首项=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列的前n项和为Mn,求证: Mn .
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【题目】设数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=nan﹣2n(n﹣1),首项=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列的前n项和为Mn,求证: Mn .
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为;直线的参数方程为(t为参数).直线与曲线分别交于两点.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)若点的极坐标为,,求的值.
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【题目】下列说法正确的个数为: ( )
①是“的充要条件”;
②“”是“”的必要不充分条件;
③“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件
④“”是“”既不充分又不必要条件
A. 3 B. 4 C. 1 D. 2
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