Question

【题目】已知抛物线 的焦点F1与椭圆 的一个焦点重合，Γ的准线与x轴的交点为F1 ， 若Γ与C的交点为A，B，且点A到点F1 ， F2的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若不过原点且斜率存在的直线l交椭圆C于点G，H，且△OGH的面积为1，线段GH的中点为P．在x轴上是否存在关于原点对称的两个定点M，N，使得直线PM，PN的斜率之积为定值？若存在，求出两定点M，N的坐标和定值的大小；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由抛物线 的焦点 与椭圆 的一个焦点重合，
则 ．
又∵抛物线Γ的准线与x轴的交点为F1（ ，0），且点A到点F1 ， F2的距离之和为4，根据椭圆上的定义知2a=4，
解得a=2．则b2=a2﹣c2=4﹣3=1．
∴椭圆C的方程为 ．
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（m≠0），G（x1 ， y1），H（x2 ， y2），
联立 ，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
由判别式和根与系数间的关系知△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=16（4k2+1﹣m2）＞0，
，根据弦长公式知丨GH丨= 丨x1﹣x2丨= = ，
又根据点到直线的距离公式知原点O到直线y=kx+m的距离为
于是△OGH的面积为 ．整理得（1+4k2﹣2m2）2=0，
∴1+4k2﹣2m2=0①
又线段GH的中点 ，即 ．
假设存在满足条件的定点M，N，不妨设M（s，0），N（﹣s，0）（s＞0），直线PM，PN的斜率之积为t，
则有 ．整理得 ②．
将①代入②，得 ．
由直线l的任意性可得 ，解得 ．
于是存在两定点 ，使得直线PM，PN的斜率之积为定值，定值为 ．
【解析】（Ⅰ）由抛物线方程，求得c= ，根据椭圆的定义，求得2a=4，即可求得a，则b2=a2﹣c2=4﹣3=1，即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得丨GH丨，再由点到直线的距离公式及三角形的面积公式求得△OGH的面积，求得1+4k2﹣2m2=0，根据中点坐标公式及直线的斜率公式求得s和t的值，使得直线PM，PN的斜率之积为定值．