Question

16．已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=3，F是PD的中点，E是线段AB上的点．
（1）当E是AB的中点时，求证：AF∥平面PEC．
（2）当AE：BE=2：1时，求二面角E-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取PC中点G，连结FG，EG，推导出四边形AEGF是平行四边形，从而AF∥EG，由此能证明AF∥平面PEC．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-PC-D的余弦值．

解答 证明：（1）取PC中点G，连结FG，EG，
∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，F是PD的中点，E是线段AB的中点，
∴FG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DC，AE$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DC，∴FG$\underset{∥}{=}$AE，
∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG，
∵EG?平面PEC，AF?平面PEC，
∴AF∥平面PEC．
  解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意得E（2，0，0），P（0，0，1），C（3，1，0），D（0，1，0），
$\overrightarrow{PC}$=（3，1，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{PE}$=（2，0，-1），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=3x+y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=y-z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
设平面PCE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=3a+b-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PE}=2a-c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，2），
设二面角E-PC-D的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴二面角E-PC-D的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．