Question

已知向量

m

=(ax， -a)， 

n

=(ax， a)，其中a＞0且a≠1，
（1）当x为何值时，

m

⊥

n

；
（2）解关于x的不等式| 

m

+

n

|＜|

m

-

n

|．

Answer 1

分析：（1）利用向量垂直的充要条件列出方程，解方程求出x的值．
（2）利用向量模的平方等于向量的平方，将已知不等式平方展开，得到指数不等式；讨论底数与1的大小；利用指数函数的单调性求出解集．

解答：解：（1）因为

m

⊥

n

，所以

m

•

n

=0，（2分）
得a^2x-a²=0，即a^2x=a²．（4分）
所以2x=2，即x=1，∴当x=1时，

m

⊥

n

．（6分）
（2）∵|

m

+

n

|＜|

m

-

n

|，∴(

m

+

n

)2＜(

m

-

n

)2，∴

m

•

n

＜0．
所以a^2x-a²＜0，即a^2x＜a²．（10分）
当0＜a＜1时，x＞1，当a＞1时，x＜1．
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为（1，+∞）；
当a＞1时，不等式的解集为（-∞，1）．（14分）

点评：本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：模的平方等于向量的平方、考查指数函数的单调性与底数与1的大小有关．