已知不等式mx2-mx-1<0.
(1)若对?x∈R不等式恒成立,求实数m的取值范围;
(2)若对?x∈[1,3]不等式恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若对满足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立,求实数x的取值范围.
解:(1)要使不等式mx
2-mx-1<0恒成立,
①若m=0,显然-1<0;
②若m≠0,则
,解得-4<m<0,
综上,实数m的取值范围是{m|-4<m≤0}.
(2)令f(x)=mx
2-mx-1,
①当m=0时,f(x)=-1<0显然恒成立;
②当m>0时,若对?x∈[1,3]不等式恒成立,只需
即可,
所以
,解得m<
,
所以0<m<
;
③当m<0时,函数f(x)的图象开口向上,对称轴为x=
,若对?x∈[1,3]不等式恒成立,结合函数图象知只需f(1)<0即可,解得m∈R,所以m<0,
综上所述,实数m的取值范围是{m|m<
};
(3)令g(m)=mx
2-mx-1=(x
2-x)m-1,
若对满足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立,则只需
即可,
所以
,解得
,
所以实数x的取值范围是{x|
}.
分析:(1)分情况讨论:若m=0易判断;当m≠0时,则有
,解出m,综合两种情况即得m范围;
(2)令f(x)=mx
2-mx-1,分三种情况进行讨论:当m=0时易判断;当m>0时,由题意可得
,从而得m的不等式组;当m<0时,数形结合可得f(1)<0,三者结合可求得m的取值范围;
(3)令g(m)=mx
2-mx-1=(x
2-x)m-1,由题意可得
,解此关于x的不等式组即可求得x的范围;
点评:本题考查函数恒成立及二次函数的性质,考查分类讨论思想、数形结合思想,解决恒成立问题的常用方法是转化为函数最值,有时采取数形结合会简化运算.