Question

6．给出下列命题：
（1）函数$f（x）=\root{3}{{{x^4}-{x^3}}}$和$g（x）=x•\root{3}{x-1}$是同一个函数；
（2）若函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-4x+3）$，则函数f（x）的单调递减区间是[2，+∞）；
（3）对于函数f（x），x∈R，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”“是y=f（x）是奇函数”的必要不充分条件；
（4）已知函数f（x）=a|log₂x|+1（a≠0），定义函数$F（x）=\left\{{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{f（-x），x＜0}\end{array}}\right.$，则函数F（x）是偶函数且当a＞0时，函数y=F（x）-2有四个零点．
其中正确命题的个数有（　　）个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 分析两个函数的定义域和解析式，可判断（1）；求出函数的单调递减区间，可判断（2）；根据充要条件的定义，可判断（3）；分析函数F（x）的奇偶性，并判断当a＞0时，函数y=F（x）-2的零点个数，可判断（4）

解答 解：（1）函数$f（x）=\root{3}{{{x^4}-{x^3}}}$和$g（x）=x•\root{3}{x-1}$定义域相同，解析式可化为一致，故是同一个函数，故正确；
（2）若函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-4x+3）$，则函数f（x）的单调递减区间是（3，+∞），故错误；
（3）“y=f（x）是奇函数”时，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”，
“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”时，“y=f（x）是奇函数”不一定成立，
故“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的必要不充分条件，故正确；
（4）已知函数f（x）=a|log₂x|+1（a≠0），定义函数$F（x）=\left\{{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{f（-x），x＜0}\end{array}}\right.$，
x＞0时，-x＜0，F（-x）=f（x）=F（x）；x＜0时，-x＞0，F（-x）=f（-x）=F（x），
故函数F（x）是偶函数，
当a＞0时，|log₂x|=$\frac{1}{a}$，即log₂x=$\frac{1}{a}$或log₂x=-$\frac{1}{a}$各有一个正根，即F（x）-2=0有两个正根，
由函数F（x）是偶函数，可得F（x）-2=0也有两个负根，
故方程F（x）-2=0有四个根，即函数y=F（x）-2有四个零点，故正确；
故正确的命题有3个，
故选：C．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了同一函数的定义，函数的单调性，函数的奇偶性，函数的对称性，充要条件，函数的零点等知识点，难度中档．