Question

【题目】已知函数，.

（1）当吋，解不等式；

（2）设.

①当时，若存在，使得，证明：；

②当时，讨论的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）（2）①见解析②见解析

【解析】

（1）将代入，不妨设，利用导数判断函数单调递增，由，即可求解.

（2）①由，代入解析式整理可得，由，利用基本不等式可得，方法一：设，利用导数即可证出；方法二：利用反证法，假设，找出，与已知矛盾即可. ②，求导函数，求出函数的单调区间以及最值，且，讨论、或即可得出零点个数.

解：（1）设，

则，

所以在上递增，又，所以，

所以的解集为.

（2）①证明：由得，

即，又，

所以，

因为，所以“”不成立.

思路一：

设，，则，

所以在单调递减，

又，所以，即.

思路二：

假设，则，，所以，

这与矛盾，故.

②，

当时，，

令得（负值舍去）.

所以当时，，为减函数，

当时，，为增函数.

又.

当，即时，有一个零点.

当，即时，由可知，

又，且，

所以，在有一个零点，故此时有两个零点；

当，即时，由可知，

令，则，

所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减，所以，

故，则.

所以，所以，且，

所以，在有一个零点，故此时有两个零点.

综上，当时，有1个零点；

当且时，有2个零点.