Question

在如图所示的正方体A₁B₁C₁D₁ABCD中，E是C₁D₁的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为（　　）

• A．-

  10

  10

• B．-

  1

  20

• C．

  1

  20

• D．

  10

  10

Answer 1

分析：取A₁D₁中点，连接EF、DF、A₁C₁，用三角形的中位线和平行线的传递性，证出EF∥AC，得∠DEF（或其补角）就是异面直线DE与AC所成的角．然后在△DEF中求出各边的长，再利用余弦定理即可算出异面直线DE与AC夹角的余弦值．

解答：解：取A₁D₁中点，连接EF、DF、A₁C₁，
∵正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A∥C₁C且A₁A=C₁C
∴四边形AA₁C₁C是平行四边形，可得A₁C₁∥AC
又∵△A₁C₁D₁中，EF是中位线
∴EF∥A₁C₁，且EF=

1

2

A₁C₁．
由此可得EF∥AC，得∠DEF（或其补角）就是异面直线DE与AC所成的角
设正方体的棱长为a，则△DEF中
DF=DE=

a2+( 1 2 a)2

=

5

2

a，EF=

1

2

A₁C₁=

2

2

a
由余弦定理，得cos∠DEF=

DE2+DF2-EF 2

2DE•DF

=

10

10

＞0
可得∠DEF是锐角，因此∠DEF是异面直线DE与AC所成的角，余弦值为

10

10

故选：D

点评：本题在正方体中求异面直线所成角的余弦值，着重考查了正方体的性质和异面直线所成角的定义及求法等知识，属于基础题．