Question

3．设f（x）=x²+ax+3-a，且f（x）在闭区间[-2，2]上恒取非负数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 将二次函数进行配方，利用二次函数的图象和性质求解，要使不等式f（x）≥0恒成立，则只需求出函数在x∈[-2，2]时的最小值即可．

解答 解：设函数f（x）=x²+ax+3-a，在x∈[-2，2]时的最小值为g（a），
则①当对称轴x=-$\frac{a}{2}$＜2，即a＞4时，g（a）=f（-2）=7-3a≥0，得a≤$\frac{7}{3}$，又a＞4，此时不成立．
②当x=-$\frac{a}{2}$∈[-2，2]时，即-4≤a≤4时，g（a）=3-a-$\frac{1}{4}$a²≥0，得-6≤a≤2，故此时-4≤a≤2．
③当-$\frac{a}{2}$＞2，即a＜-4时，g（a）=f（2）=7+a≥0，解得a≥-7，此时-7≤a＜-4．
 综上：-7≤a≤2．

点评 本题主要考查二次函数的图象和性质，要注意分别讨论对称轴和区间之间的关系确定函数的最小值．